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三棱锥的外接圆半径怎么求

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三棱锥的外接圆半径怎么求

正三棱锥的外接球半径求法:

设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。

设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径。

(当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时,即角DAE小于90度时,球心在棱锥的内部当线面角等于90度时,球心恰好在底面正三角形的中心M上。

当线面角大于90度时,球心在棱锥的外部,在棱锥高AM的延长线。下面我给出的解法是第一种情况,球心在棱锥的内部。另两种情况你自己可以照理推出。)

设AO=DO=R

则,DM=2/3DE=2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3

AM=根号(a^2-b^2/3)

OM=AM-A0=根号(a^2-b^2/3)-R

由DO^2=OM^2+DM^2得

R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)

内切球半径用等体积法,连接内切球球心和棱锥各顶点分割成若干三棱锥,则每个三棱锥体积为1/3底面积×R,全棱锥体积为1/3全面积×R外接球则先考查任一侧面的三点外心的法线对于特殊棱锥考虑补形为长方体之类的。

扩展资料

三棱锥外接球又是主要的一种,主要是能补成长方体(包括正方体、正四棱锥)的三棱锥、侧棱与底面垂直的三棱锥、底面与底面垂直的三棱锥和正三棱锥。

补形的类型有:

类型1:一个顶点上三条棱互相垂直,由以互相垂直的三条棱为长、宽、高补成一个长方体,此时长方体的对角线就是外接球直径。

类型2:三组对棱分别相等的三棱锥,此时以对棱为相对面的对角线补成一个长方体

类型3:两组对棱都相等的三棱锥,另一组对棱也相等的三棱锥,可补成正四棱柱

类型4:正四面体(即各棱都相等的三棱锥)。以棱长为正方体面的对角线补成正方体。