真数和底数为什么不能为零呢

首先说底数为什么不能小于 0

如果底数 a < 0，a^x 对许多实数都是没有定义的，比如开偶次方的情形，这样 y = a^x 的函数图像

就只能定义在一个很怪的集合上，值域也会很奇怪，反函数自然就很怪

如果底数 a = 0 或 1，注意到 0^x = 0 (x>0)，1^x = 1，故 y = a^x 不是单射，没有反函数

这样底数的范围包含于 (0，∞)-{1}

而对上述集合中的任意数 a，y = a^x 对 x∈R 有定义且是单射，这样就可以定义反函数，记为

y = log_a x

同时注意到当 a>0 时，a^x > 0，故反函数的自变量 x > 0，也就是真数大于 0

真数和底数不能为零的原因应该从对数的逆运算中去寻找。我们知道，对数的定义就是从指数入手的，事实上对数的概念就是来源于指数。如果a^b=c，则c叫做以a为底b的对数。这里的c就是真数。如果这个a为零，则c也是零，而b却可以是任何数！如果允许底数真数为零，则其对数值b就是无法确定的，这在数学上就是自找麻烦。