a的伴随矩阵等于a的转置结论

以A*表示伴随矩阵，A'表示转置矩阵 －－－－－－ 反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的，则|A|＝0.A*＝A'，则AA'＝AA*＝|A|E，E是单位矩阵.所以AA'＝0.设A的第i行j列元素是aij，则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2，j＝1，2，...，n(k＝1，2，...，n).所以akj＝0(j，k＝1，2，...，n).所以A＝0，与A≠0矛盾.所以，A可逆.

条件应该有A ≠ 0吧.

n = 2时，设A =

a b

c d

则伴随矩阵A* =

d -b

-c a

由转置A‘ = A*得a = d，b = -c.

当讨论限制为实矩阵，行列式|A| = a²+b² > 0，A可逆.

复矩阵时有反例:

1 i

-i 1

n > 2时，无论在哪个域上，命题总是成立的，证明如下.

若A的秩r(A) < n-1，伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造，有A* = 0，与A ≠ 0从而转置矩阵A' ≠ 0矛盾.

若r(A) = n-1，由AA* = |A|·E = 0，及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*)，有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A').

于是r(A) < n时总有A* ≠ A'.即由A* = A'可推出A可逆.