极坐标下求弧长公式的推导

直角坐标与极坐标的关系x＝r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ。

dx/dθ＝r'(θ)cosθ－r(θ)sinθ

dy/dθ＝r'(θ)sinθ＋r(θ)cosθ

(dx/dθ)^2＋(dy/dθ)^2＝[r'(θ)]^2＋[r(θ)]^2

ds=√[(dx)²+(dy)²]=√[(dx/dθ)²+(dy/dθ)²]dθ＝√((r'(θ))^2＋(r(θ))^2)dθ。

弧长=圆周长×圆心角÷360°=π×直径×圆心角÷360°=2π×半径×圆心角÷360°

弧度÷2π=圆心角÷360°，所以：弧长=圆周长×弧度÷2π=直径×弧度÷2=半径×弧度